平面上的代数曲线可以定义为满足方程f(x, y)=0的点的集合，其中f是多项式函数。
若f展开为以下的形式
f
=
a
0
+
b
0
x
+
b
1
y
+
c
0
x
2
+
2
c
1
x
y
+
c
2
y
2
+
…
{\displaystyle f=a_{0}+b_{0}x+b_{1}y+c_{0}x^{2}+2c_{1}xy+c_{2}y^{2}+\dots \,}
且若原点(0, 0)在曲线上，则a0=0。若b1≠0，则隐函数定理可确定有一光滑函数h，使得在原点附近y=h(x)会成立。同様的，若b0≠0，则在原点附近曲线会接近x=k(y) 。上述任何一个情形下，都有一个光滑映射从R映射到原点附近曲线所在的平面，注意在原点处
b
0
=
∂
f
∂
x
,
b
1
=
∂
f
∂
y
,
{\displaystyle b_{0}={\partial f \over \partial x},\,b_{1}={\partial f \over \partial y},}
因此只要任何一个f的偏导数不为零，曲线即为非奇异。曲线的奇点出现在二个偏导数皆为零的位置。
f
(
x
,
y
)
=
∂
f
∂
x
=
∂
f
∂
y
=
0.
{\displaystyle f(x,y)={\partial f \over \partial x}={\partial f \over \partial y}=0.}
非奇点
假设曲线通过原点，原点附近可近似为y=mx，则f可以写为如下的式子
f
=
(
b
0
+
m
b
1
)
x
+
(
c
0
+
2
m
c
1
+
c
2
m
2
)
x
2
+
…
.
{\displaystyle f=(b_{0}+mb_{1})x+(c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2})x^{2}+\dots .\,}
若b0+mb1不为零，则f=0在x=0处有阶数为1的解。若b0+mb1=0 ，则f=0在x=0处有阶数为2（或更高）的解，且y=mx及b0x+b1y=0都会是曲线的切线。此时，若if c0+2mc1+c2m2不为零，则曲线在和y=mx接触处有二重点（point of double）。若x2, c0+2mc1+c2m2的系数为零，但x3系数不为零，则原点是曲线的拐点。若x2和x3的系数都是零，则原点称为曲线的波动点（point of undulation）。上述分析可以应用在曲线上的任意点，只要平移坐标轴，使要分析的点变成原点即可[1]。
二重点
三个帕斯卡蜗线，左图是没有二重点的帕斯卡蜗线，中间的蜗线（心脏线）在原点处有一个尖点，右边的蜗线在原点有一个叉点，也就是曲线在该位置有二条切线
若在上述说明中，b0和b1都是零，但至少c0、c1和c2中有一个不为零，则原点即为曲线的二重点。再令y=mx，则f可写成
f
=
(
c
0
+
2
m
c
1
+
c
2
m
2
)
x
2
+
(
d
0
+
3
m
d
1
+
3
m
2
d
2
+
d
3
m
3
)
x
3
+
…
.
{\displaystyle f=(c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2})x^{2}+(d_{0}+3md_{1}+3m^{2}d_{2}+d_{3}m^{3})x^{3}+\dots .\,}
二重点可以依以下方程的解来分类：
c0+2mc1+m2c2=0.
叉点
若c0+2mc1+m2c2=0有二个m的实根，也就是c0c2−c12<0，则原点为叉点。曲线在叉点和自身相交，二条切线对应c0+2mc1+m2c2=0的二个解。原点为函数f的鞍点。
孤立点
若c0+2mc1+m2c2=0没有m的实根，也就是c0c2−c12>0，则原点为孤立点。在实数平面上，原点为曲线的一个孤点，不过若当做复数曲线来考虑，c0+2mc1+m2c2=0的二部分的解之间有复数的切线相连。此情形下函数在原点处有极值。
尖点
若c0+2mc1+m2c2=0有一个m的二重根，也就是c0c2−c12=0，原点称为尖点。此时曲线在原点变动方向，产生一个尖锐的图形。曲线在原点处有单一的切线，但是可视为二条恰好重合的切线。
进一步的分类
node一词是用来表示叉点或是孤立点，也就是不为尖点的二重点。曲线中node数量及尖点数量是二个曲线的不变量，在普吕克公式（英语：Plücker formula）中有用到。
若c0+2mc1+m2c2=0的一个解也是d0+3md1+3m2d2+m3d3=0的解，则曲线对应的分支在原点为拐点，此时原点称为flecnode。若两条切线都有此性质，则c0+2mc1+m2c2为d0+3md1+3m2d2+m3d3的因式，原点称为biflecnode[2]。
三重点
一个有三重点的曲线
若f中所有小于k次方的系数都为零，且至少有一项k次方的系数不为0，此曲线即有k阶的多重点。一般而言曲线在原点处有k条切线，不过有些切线可能会是虚数[3]。